[Tổng hợp] Các dạng bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải

Gia sư

1. Nhận định về các dạng bài tập bất đẳng thức cosi

Bất đẳng thức cosi nói riêng và dạng bài tập bất đẳng thức nói chung hiện vô cùng phổ biến trong các chương trình luyện thi đại học. Tuy kiến thức lý thuyết của dạng bài này không quá phức tạp nhưng độ khó và tính đa dạng của dạng bài luôn ở mức khá phức tạo đòi hỏi học sinh cần có thời gian rèn rũa và tự học không chỉ tiếp thu kiến thức trên trường lớp mà còn cần tự giác học tập ở nhà. 

1.1. Bất đẳng thức cosi là gì? 

Bất đẳng thức cosi là tên gọi của dạng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Trong thuật ngữ toán học chuyên sâu, bất đẳng thức này còn được biết đến với cái tên bất đẳng thức AM (Arithmetic Means) - GM (Geometric Means). Với nhiệm vụ so sánh trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm, đây là cách chứng minh quy nạp hiệu quả nhất. 

Trong nhiều tài liệu, bất đẳng thức cosi còn được biết đến với cái tên bất đẳng thức Bun-nha-cốp-ki - người sáng tạo nên dạng bài này. Bất đẳng thức cosi là cách gọi tắt của bất đẳng thức Cauchy Schwarz - người sáng tạo ra cách giải dạng bài trên.

1.2. Bất đẳng thức cosi có khó hay không? 

Bản thân dạng toán bất đẳng thức đã đưa ra hai đại lượng không bằng nhau và yêu cầu người học chứng minh tính đúng sai theo định nghĩa lý thuyết hoặc tìm các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Cùng với dạng toán gốc của bất đẳng thức cosi, người học cũng thường xuyên bắt gặp dạng toán bất phương trình hoặc hệ bất phương trình được biến thiên từ bất đẳng thức cosi. Chính từ sự biến đổi dựa trên kiến thức này sẽ yêu cầu người học phải có lượng kiến thức vững chắc và năng lực vận dụng khéo léo. 

Đọc thêm: Gia sư toán lớp 10

2. Dạng tổng quát của bất đẳng thức cosi

Trong các tài liệu học thuật, bất đẳng thức cosi được phát biểu là trung bình cộng của n số thực không âm sẽ lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng khi n số đó bằng nhau. Bất đẳng thức này còn được phát biểu dưới những dạng sau: 

Ngoài dạng tổng quát như các phương trình bên trên, khi n = 2 hoặc n =3 ta sẽ có dạng đặc biệt của bất đẳng thức cosi như sau: 

Từ những công thức trên, ta rút ra hệ quả của bất đẳng thức cosi: 

Xem thêm: Các dạng bài tập về vectơ lớp 10 đầy đủ nhất

3. Làm thế nào để học tốt bất đẳng thức cosi

Như những thông tin phần đầu bài viết, có thể thấy bất đẳng thức cosi không phải dạng bài đại trà và cơ bản. Phần bài tập bất đẳng thức cosi sẽ xuất hiện ở phần bài tập cho học sinh khá giỏi trở lên. 

3.1. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi làm dạng bài bất đẳng thức cosi

Một trong những sai lầm phổ biến nhất mà học sinh thường xuyên mắc phải khi làm dạng bài tập này là xác định điểm rơi sai. Bước xác định điểm rơi thường được coi là bước đầu tiên trong bài toán. Chỉ cần sai bước này coi như bài toán chính thức bị rẽ sang một hướng khác dẫn đến đáp số sai dù có thể cách làm vẫn đúng quy cách. 

Bất đẳng thức cosi có đến 5 dạng toán biến đổi chính vì vậy học sinh thường có tâm lý sợ học vì không nhớ được công thức từ đó xảy ra thái độ học thụ động, áp dụng công thức sai dạng bài và tính toán nhầm cách. Bắt đầu từ phần công thức cơ bản học sinh mới có thể hiểu và làm được những dạng toán biến thiên đặc biệt, chính vì vậy nếu như không học thuộc được phần này quá trình học bất đẳng thức sẽ rất khó khăn khi mất gốc. 

Cùng với đó, trong bài toán bất đẳng thức cosi thường chứa những giải thiết cùng thông tin về các số thuộc khoảng nào, tập số nào. Nếu như học sinh không đọc kỹ đề bài cũng sẽ dẫn đến cảnh không khai thác hết giả thiết từ đó không hiểu được đề bài. 

Nhìn chung, việc học yêu cầu từ nhiều góc độ không chỉ ở học sinh mà còn ở giáo viên. Trong một lớp học quá đông, giáo viên không thể chú tâm đến từng em một. Học sinh sẽ cần tự giác học ở nhà hoặc được ôn tập, chỉ bảo lại từ gia sư, bạn bè cùng lớp. 

3.2. Cách học dạng bài bất đẳng thức cosi hiệu quả

Trên thực tế, không có cách học nào có thể là công thức áp dụng được với tất cả mọi người. Mỗi người có một trình độ nhận thức khác nhau cũng như thái độ học khác nhau. Dưới đây là một số gợi ý của đội ngũ vieclam88.vn để hỗ trợ việc học tập của các bạn học sinh được đơn giản và dễ dàng hơn: 

- Bắt buộc phải nhớ công thức: rất nhiều học sinh ỷ lại vào việc có thể dễ dàng tra cứu công thức trên các phương tiện di động và không chịu học thuộc công thức hay các dạng toán đặc biệt. Không chỉ nhớ công thức, học sinh còn cần hiểu các yếu tố trong công thức để áp dụng đúng bài tập. 

- Dành thời gian ôn tập dạng bài: trước dạng bài tập khó như bất đẳng thức cosi, việc học trên lớp sẽ là không đủ. Bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập là những dạng bài cơ bản nhất. Học sinh cần làm đủ bài tập trong 2 tài liệu chính quy này trước khi tham khảo nguồn tài liệu khác. 

- Không tham lam dạng bài khó: làm được dạng bài tập khó là minh chứng cho việc học sinh có năng lực và khả năng học tập. Những dạng bài khó chỉ chiếm từ 5 đến 10% trong các đề thi, đề kiểm tra. Rất nhiều học sinh chú tâm vào dạng bài khó mà xem nhẹ những bài toán cơ bản dẫn đến việc cẩu thả, trình bày sơ sài và mất điểm trong mắt giáo viên. 

Tìm hiểu thêm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

4. Các dạng bất đẳng thức cosi và bài tập có lời giải

5 dạng bất đẳng thức cosi: 

Các dạng cơ bản:

- Sử dụng trực tiếp các hệ quả của bất đẳng thức cosi

- Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi

- Sử dụng kỹ thuật tách ghép để làm bài tập bất đẳng thức cosi

Dạng bài tập nâng cao:

- Sử dụng cosi ngược dấu

- Sử dụng kỹ thuật cân bằng hệ số

Để làm dạng bài tập nâng cao, đầu tiên học sinh cần nắm vững các kiến thức lý thuyết. Dưới đây là tổng hợp các bài giảng bất đẳng thức cosi và tóm tắt các công thức:

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai6.doc

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai7.doc

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai10.doc

Tiếp theo ta sẽ đến với các chuyên đề và bài tập cơ bản cùng lời giải:

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai1.doc

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai2.doc

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai3.doc

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai4.doc

Khi đã nhuần nhuyễn và thuần thục cách làm dạng cơ bản, học sinh có thể tự ôn luyện thông qua bài tập kèm lời giải dạng bài nâng cao:

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai5.doc

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai8.doc

bai-tap-bat-dang-thuc-cosi-co-loi-giai9.docx

Thông thường, các dạng bài tập liên quan đến bất đẳng thức cosi sẽ nằm trong phần bài tập nâng cao của cấp trung học cơ sở và là bài tập đại trà phục vụ ôn thi đại học cấp trung học phổ thông. Việc hiểu và biết làm dạng bài này là vô cùng cần thiết đặc biệt đối với những em học sinh có nguyện vọng ôn thi những khối ngành có tổ hợp môn khoa học tự nhiên. 

Mong rằng những chia sẻ của đội ngũ vieclam88.vn đã hỗ trợ các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu bổ ích về chuyên đề toán này. Với những bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải trên, hy vọng các bạn đọc sẽ có thêm thông tin để tự ôn tập. Chúc các bạn có kết quả học tập tốt nhất! Đừng quên theo dõi trang blog của vieclam88.vn và cập nhật thêm tài liệu của những môn học khác nhé.